2017 - 2018


Le séminaire aura lieu les jeudis 20 septembre 2018, 29 novembre 2018, 7 février 2019, 4 avril 2019, et 6 juin 2019.

20 septembre 2018
  • 11h00 - 12h00 : Arnaud de Mesmay (CNRS, Gipsa-Lab, Université Grenoble),
    Allers-retours entre les graphes plongés et la géométrie des surfaces,
    , Transparents.

Dans cet exposé, nous expliquerons à l'aide de problèmes précis comment la géométrie continue (riemannienne) des surfaces peut éclairer la combinatoire des graphes plongés et vice-versa. Nous dresserons des parallèles entre du premier côté les géodésiques, les homotopies optimales et les balayages, et de l'autre côté les cycles non-triviaux (edge-width), l'algorithmique d'un problème de recherche de graphes planaires (hauteur d'homotopie) et les décompositions arborescentes des graphes planaires. L'exposé ne présuppose aucune connaissance en géométrie différentielle ou en topologie.
Basé sur des travaux réalisés avec Erin Chambers, Gregory Chambers, Eric Colin de Verdière, Alfredo Hubard, Francis Lazarus, Tim Ophelders et Regina Rotman.

  • 13h45 - 14h45: Frédéric Jouhet (ICJ, Universite Claude Bernard Lyon 1),
    Congruences modulo des polynômes cyclotomiques et indépendance algébrique de $q$-séries,
    , Transparents.

De nombreuses $G$-fonctions ont des coefficients satisfaisant des congruences modulo des nombres premiers. Ces congruences sont de même nature que celles découvertes par Lucas pour les coefficients binomiaux, qui se généralisent à des congruences modulo des polynômes cyclotomiques pour les coefficients $q$-binomiaux. Je donnerai une congruence générale pour des quotients multidimensionnels de $q$-factorielles qui, via un processus de spécialisation, généralise de nombreux résultats de ce type. En termes de séries génératrices, de telles congruences relient des séries entières combinatoires classiques à leurs $q$-analogues. En me focalisant sur le cas des séries à coefficients dans $\mathbb{Z}[q]$, je décrirai un phénomène de propagation de l'indépendance algébrique : lorsque de telles séries sont algébriquement indépendantes sur le corps des complexes pour $q=1$, c'est aussi le cas de leurs $q$-analogues.
Cet exposé est basé sur des travaux communs avec Boris Adamczewski, Jason Bell et Eric Delaygue.

  • 14h45 - 15h45 : Bénédicte Haas (LAGA, Université Paris 13),
    Quelques propriétés géométriques des graphes stables,
    .

Considérons un graphe $G_n$ uniformément choisi dans l'ensemble des graphes à $n$ noeuds étiquetés avec des degrés $D_1,\ldots,D_n$ donnés, eux-mêmes aléatoires i.i.d. tels que $\mathbb E[D^2]<\infty$ et $\mathbb P(D=2)<1$. Molloy et Reed 95 ont montré l'existence d'une composante géante si et seulement si $E[D(D-1)]>E[D]$. On se place ici dans le cas critique $E[D(D-1)]=E[D]$ et on suppose que $\mathbb P(D=k) \sim c k^{-2-\alpha}$, $1<\alpha<2$. Des travaux de Joseph 14, Riordan 12 et Conchon-Kerjan et Goldschmidt (à paraître), il résulte que le graphe $G_n$, après normalisation, converge alors vers un graphe continu aléatoire appelé \emph{graphe stable} d'indice $\alpha$. Nous présenterons ici quelques propriétés géométriques de ce graphe limite.
Basé sur un travail en collaboration avec C. Goldschmidt et D. Sénizergues.

29 novembre 2018
  • 11h00 - 12h00 : Mireille Bousquet-Mélou (CNRS, LaBRI, Université Bordeaux),
    Sur les orientations bipolaires des cartes planaires,
    , Transparents.

Les cartes planaires, étudiées depuis les années 60 par Tutte -- puis beaucoup d'autres -- sont désormais bien comprises. En particulier, 20 ou 30 ans après les premiers travaux récursifs de Tutte, de belles bijections sont venues expliquer la simplicité de ses formules d'énumération. Plus tard, ces bijections ont ouvert la voie à l'étude des grandes cartes aléatoires, vues comme des espaces métriques.
Les cartes équipées d'une structure restent plus mystérieuses. Pour beaucoup de structures, par exemple les colorations propres, l'énumération a été faite, mais pas de façon bijective. Et les propriétés asymptotiques des grandes cartes structurées restent à élucider.
Dans cet exposé, on traitera des cartes équipées d'une orientation bipolaire, en montrant qu'elles ont une combinatoire particulièrement riche, liée notamment aux chemins confinés dans un cône. Ceci permet de les dénombrer, récursivement et bijectivement, et d'établir quelques résultats d'universalité asymptotique.
Travail en commun avec Éric Fusy et Kilian Raschel.

  • 14h00 - 15h00: Charles Bordenave (CNRS, Université Aix-Marseille),
    Marche au hasard sur un graphe expanseur avec un revêtement,
    .

Le temps de mélange d'une chaîne de Markov ergodique finie a une coupure si sa distance à l'équilibre reste proche de sa valeur initiale puis chute abruptement vers zéro. Ce phénomène a été établi pour de nombreuses chaînes de Markov mais il n'y a cependant pas de théorie générale qui l'explique. Dans cet exposé, dans le contexte des marches aléatoires sur des graphes expanseurs, nous verrons des nouveaux critères spectraux pour le phénomène de coupure. Nous établirons notamment une identité entre des séries génératrices de marches anisotropiques sur le groupe libre.
Travail en collaboration avec Hubert Lacoin (IMPA).

  • 15h00 - 16h00 : Vincent Delecroix (CNRS, LaBRI, Université Bordeaux),
    Polynomialité dans les méandres,
    .

Les méandres sont les configurations de deux cercles plongés dans la sphère. Le paramètre principal est leur nombre d'intersection. C'est un problème ouvert de déterminer l'exposant de croissance exponentielle du nombre de méandres lorsque l'on fait croître le nombre d'intersection (Di Francesco-Golinelli-Guitter conjecturent que c'est $\sqrt{29}(\sqrt{29}+\sqrt{5})/12)$. Le but de mon exposé sera de présenter deux résultats de polynomialité pour un comptage bi-varié d'une sous classe de méandres. Le premier démontre un équivalent asymptotique lorsque la second paramètre est fixé et le second démontre la polynomialité à partir d'un certain rang lorsque le premier paramètre est fixé.

7 février 2019
  • 11h00 - 12h00 : Anne-Laure Basdevant (Université Paris Nanterre),
    Plus longue sous suite croissante avec contraintes,
    .

Étant donné un nuage de points poissonien, Hammersley étudia dans les années 70 le nombre maximal de points du nuage par lequel un chemin croissant peut passer. Ceci permettait alors d'obtenir la longueur asymptotique de la plus longue sous-suite croissante dans une grande permutation aléatoire. Dans cet exposé, nous généraliserons le problème d'Hammersley en rajoutant diverses contraintes sur le chemin et nous exposerons des couplages qui permettent de se ramener au problème originel.
Travail en collaboration avec Lucas Gerin.

  • 14h00 - 15h00: Samuele Giraudo (IGM, Paris-Est Marne-la-Vallée),
    Some combinatorial structures related to operads,
    , Transparents.

Operads are devices intended to study algebraic structures by providing an abstraction of the notion of operation, their compositions, and the relations they satisfy. We introduce some elementary notions about operads and review some interactions between this theory and combinatorics. For this purpose, we shall explore how operads are linked with rewrite systems of trees and how to handle them as tools to enumerate families of combinatorial objects. We shall also present analogs of the Young lattice and a notion of dual pairs of graded graphs obtained from operads.

  • 15h00 - 16h00 : Wenjie Fang (TU Graz),
    La transformation zeta steep-bounce dans le Cataland parabolique,
    , Transparents.

Le treillis de Tamari se définit comme l'ordre faible sur $S_n$ restreint aux permutations qui évitent le motif $231$. Mühle et Williams (2018+) ont généralisé cette construction aux quotients paraboliques de $S_n$, qui donne le treillis de Tamari parabolique. Il s'avère que la somme de tailles de tous les treillis de Tamari parabolique d'ordre $n$ correspond à la dimension de la composante homogène de degré $n$ d'une certaine algèbre de Hopf des pipe dreams, étudiée par Bergeron, Ceballos et Pilaud (2018+). Nous trouvons une explication bijective de ces relations d'équi-énumération reliant ces familles d'objets, en passant par une famille d'arbres coloriés. Muni des bijections trouvées, nous pouvons en déduire des résultats structurels intéressants, certains concernant la transformation zeta sur les chemins de Dyck, qui est centrale dans l'étude combinatoire de l'espace diagonal des coinvariants. Ce travail en cours est joint avec Cesar Ceballos et Henri Mühle.