4 décembre 2025
Le modèle de tas de sable abélien est un modèle issu de la physique qui a émergé dans les années 80 pour illustrer le phénomène de criticité auto-organisée. Il s'agit d'un automate cellulaire qui simule l'empilement instable de grains de sable, suivi d'effondrements aboutissant à un tas stable. On y observe une structure fractale. Dans cet exposé, on s'intéresse à la forme du bord de la configuration finale lorsque le nombre de grains de sable tend vers l'infini. Dans le modèle classique, de nombreuses conjectures restent ouvertes. On traitera une variante, appelée "leaky" ("avec fuite" en français), où une partie du sable disparaît après chaque effondrement. Généralisant les travaux de Alevy et Mkrtchyan, qui traitent un cas particulier dans le plan, nous prouvons un résultat de convergence vers une forme limite en dimension quelconque et pour une vaste classe de règles d'effondrement. Nous étudions ensuite l'influence du paramètre de fuite, qui constitue la spécificité du modèle considéré. Bien que le modèle étudié soit déterministe, la description de la forme limite se fera à l'aide d'outils probabilistes faisant intervenir la fonction de Green d'une chaîne de Markov tuée. Il s'agit d'un travail commun avec Théo Ballu, Cédric Boutillier et Sevak Mkrtchyan (arXiv:2501.12664). On pourra consulter cette courte vidéo tirée des "5 minutes Lebesgue", dans laquelle le premier auteur, Théo Ballu, présente une synthèse de ce travail.
La motivation initiale du résultat présenté est de nature géométrique et dynamique: le but est d'exprimer les volumes de certains espaces de modules de surfaces plates, ces volumes étant intéressants pour l'étude des propriétés dynamiques de certains billards polygonaux par exemple. Pour évaluer ces volumes il faut compter des surfaces à petits carreaux de type combinatoire fixé. Le comptage des métriques sur les cartes combinatoires, c'est-à-dire les choix de longueurs entières sur les arrêtes pour obtenir des périmètres de faces fixés, est un ingrédient clé de ce comptage. Dans le cas des cartes trivalentes, Kontsevich a montré que la fonction de comptage des métriques est polynomiale (à des termes de degré inférieur près) et explicite. Motivés par l'étude de certains espaces de modules, nous avons étudié le comptage des métriques sur les cartes où certains sommets ont des valences impaires fixées. Dans ce cas, le résultat de Kontsevich donne la polynomialité de la fonction de comptage en dehors de certains murs. En comptant des métriques sur des cartes dégénérées, nous avons explicité cette fonction de comptage sur les murs, et ainsi donné une formule pour les volumes des espaces de modules considérés. Cela devrait permettre de résoudre certaines conjectures pour les surfaces plates de grand genre. (Travail en commun avec E. Duryev et Y. Yakovlev.)
Les chemins progressifs et pressés sont deux familles de chemins de Dyck introduits par Asinowski et Jelínek, qui ont montré qu'ils avaient la même énumération. Durhuus et Ünel ont montré une forme asymptotique pour le nombre de chemins pressés (en fait une classe d'arbres équivalente) qui contient une exponentielle étirée. Je montrerai une bijection qui montre l'égalité d'Asinowski et Jelínek, puis je présenterai des résultats asymptotiques s'appuyant sur ceux de Durhuus et Ünel. Je finirai par donner un algorithme de génération aléatoire efficace pour ces familles de chemins.
arXiv : https://arxiv.org/pdf/2403.08120v2
2 octobre 2025
- Sébastien Martineau (LPSM, Sorbonne Université)
Localité de la percolation surcritique pour les graphes croissant polynomialement
Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux graphes transitifs ayant la propriété de croissance suivante : il existe un réel d>1, automatiquement entier, tel que le cardinal de la r-boule soit en Θ(r^d). Des travaux récents permettent une bonne compréhension de la percolation surcritique sur certains de ces graphes :
- dans le cas précis du réseau hypercubique de dimension d>1, Georgakopoulos et Panagiotis ont démontré que la probabilité que l’origine soit dans un amas de percolation infini dépend analytiquement du paramètre p>p_c ;
- pour n’importe quel graphe dans cette classe, Contreras, Tassion et moi-même avons démontré que pour tout p>p_c, la probabilité que deux sommets soient reliés sans pour autant être dans un amas infini s'évanouit exponentiellement en leur distance.
Par ailleurs, Contreras, Tassion et moi-même avons démontré que pour tout graphe G dans notre classe d’étude, si un graphe G’ de notre classe a la même r-boule que G pour un r assez grand, alors p_c(G) et p_c(G’) sont proches.
Dans un travail en cours de finalisation, Panagiotis et moi-même unifions ces trois résultats. Nous démontrons que le théorème de Georgakopoulos–Panagiotis vaut pour tout graphe de notre classe. En outre, nous établissons que, tant pour l’étude de l’analyticité que de la décroissance exponentielle, connaître une boule de grand rayon suffit à obtenir de bonnes estimées. L’exposé visera à donner un aperçu autocontenu de ces résultats.
- Alice Contat (CNRS, LAGA, Paris Nord)
Universalité des équations catalytiques en combinatoire analytique via les arbres de parking
Depuis les travaux pionniers de Tutte sur l’énumération des cartes planaires, l’idée d’introduire une variable dite "catalytique" pour résoudre des équations impliquant des fonctions génératrices s’est révélée très fructueuse. Nous montrerons que les équations catalytiques positives et non linéaires ont un exposant polynomial universel 5/2 autour de leur singularité.
Basé sur un travail en commun avec Nicolas Curien.
- Lucia Di Vizio (LMV, Versailles)
Équations linéaires itératives et applications combinatoires
J'énoncerai un résultat de transcendence différentielle pour les solutions des équations linéaires itératives à coefficients rationnels et montrerai ses applications à la combinatoire. Je donnerai ensuite une idée de la preuve de ce résultat, basée sur la théorie de Galois aux différences. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Gwladys Fernandes et Marni Mishna.
Slides will be in English and I'll speak English or French, according to the audience.
