30 septembre 2021
- Marc Lelarge (INRIA),
Deep learning with symmetries.
Transparents.
Ca y est le seminaire Flajolet est rattrape par la hype, j'espere que vous ne m'en voudrez pas trop...
- Irène Marcovici (Institut Elie Cartan de Lorraine),
Corrélations discrètes d’ordre 2 de certaines suites automatiques.
Transparents.
Une suite k-automatique est une suite qui peut être calculée par un automate fini de la manière suivante : le n-ième terme de la suite est fonction de l'état atteint par l'automate après lecture de la représentation de l'entier n en base k. Ces suites peuvent également être obtenues à partir du point fixe d'une substitution de longueur k. Je montrerai qu'il existe des familles de suites automatiques, qui, malgré leur description très simple, ont les mêmes corrélations d'ordre 2 qu'une suite i.i.d. de symboles choisis uniformément au hasard. Plus précisément, pour tout entier r>0, et pour tout couple (i,j) de symboles, la proportion asymptotique d'entiers n pour lesquels (u_n,u_{n+r})=(i,j) est égale à 1/L^2, où L est le nombre de symboles. La preuve repose sur des ingrédients simples et se généralise à des suites multi-dimensionnelles.
Il s'agit d'un travail en collaboration avec Thomas Stoll et Pierre-Adrien Tahay.
- Valentin Féray (Institut Elie Cartan de Lorraine),
Une bijection asymptotique et un résultat de limite d’échelle pour les factorisations de genre fixé d’un grand cycle.
Transparents.
Considérons les factorisations en transpositions du grand cycle $(1,2,...,n)$ dans le groupe symétrique $S_n$. Il est bien connu que le nombre minimal de transpositions nécessaires pour factoriser $(1,2,...,n)$ est $n-1$ et que le nombre de factorisations correspondantes est $n^{n-2}$. Les factorisations en $n-1+2g$ facteurs sont appelées factorisations de genre $g$; nous noterons $h_{n,g}$ leur nombre. On dispose d'une formule explicite pour $h_{g,n}$, mais sans preuve combinatoire.
Dans cet exposé, nous présenterons une construction combinatoire expliquant le terme dominant de $h_{g,n}$, quand $g$ est fixe et quand $n$ tend vers l'infini. Comme conséquence, nous proposerons un algorithme simple pour générer une factorisation de genre $g$ aléatoire, dont la distribution est asymptotiquement uniforme. Nous déduirons de cela la limite d'échelle d'une factorisation uniforme de genre $g$.
Travail en commun avec Baptiste Louf et Paul Thévenin.
25 novembre 2021
- Maria Chlouveraki (UVSQ),
Le défaut et le poids des multipartitions.
La combinatoire des multipartitions joue un rôle-clef dans la théorie des représentations des algèbres de Ariki-Koike, qui généralisent les algèbres de Iwahori-Hecke de type A et B. Dans cet expose, nous verrons comment nous pouvons généraliser les notions de longueur de crochet et de poids dans le cadre de multipartitions et les utiliser pour étudier les représentations de ces algèbres dans le cas non-semisimple. Plus spécifiquement, nous allons associer la notion de poids à la notion de défaut qui provient de la théorie des representations, et nous allons montrer que cette dernière est un invariant de blocs. Ceci est un travail en commun avec Nicolas Jacon.
- Reza Naserasr (IRIF),
Signed projective cubes.
The $n$-dimensional projective cube, denoted $PC(n)$, is the graph obtained from $(n+1)$-dimensional hypercube by identifying antipodal pairs. They are mostly referred to as folded cubes, but we rather view them as the discrete cube in the projective spaces. The goal of this talk is to introduce and show the importance of these graphs. We will see that they form bridges connecting several domains of mathematics. They capture some prominent optimization problems and they lead to introduction of several new concepts. We will see how the notion of the "winding number" from algebraic topology can be employed to study a special case of a homomorphism question among these (signed) graphs. Finally we will identify several questions of interest for potential future work.
- Andrea Sportiello (LIPN),
Many new conjectures on Fully-Packed Loop configurations.
The Razumov--Stroganov conjecture revolves around Fully-Packed Loop configurations (FPL) and the steady state of the dense O(1) loop model (O(1)DLM). In short, it states that the refined enumeration of FPL's according to the (black) link pattern is proportional to the aforementioned steady state. It exists in two main flavours: "dihedral" (ASM, HTASM, QTASM on one side, and the O(1)DLM on the cylinder on the other side), and "vertical" (VSASM, UASM, UUASM, OSASM, OOASM on one side, and the O(1)DLM on the strip on the other side). Together with L. Cantini, we gave two proofs (in 2010 and 2012) of the conjecture in the dihedral cases, but, despite the efforts of ourselves and others, the vertical case is still unsolved. We recently looked back at the FPL configurations pertinent to one of the unsolved cases, namely the UASM (ASM on a 2n x n rectangle with U-turn boundary conditions on one long side), and we had the idea of looking at the refinement according to the black and white link patterns, and the overall number of loops. This doesn't seem to help in understanding the Razumov--Stroganov conjecture, but leads to many more conjectures, suggesting the existence of a remarkable generalisation of Littlewood--Richardson coefficients, somewhat in the same spirit, but apparently by a completely different mechanism, to "FPL in a triangle" studied by P. Zinn-Justin, and by Ph. Nadeau. Work in collaboration with L. Cantini.
3 février 2022
- Jiang Zeng (Institut Camille Jordan),
Combinatoire des permutations de Genocchi, positivité gamma et J-fractions..
Récemment, Hetyei, Lazar et Wachs, dans leurs études d’arrangement d’hyperplans, ont trouvé de nouvelles classes de permutations dont les cardinaux sont les nombres de Genocchi et Genocchi médians. L’un de ces modèles est l’ensemble des permutations dont chaque descente est formée de nombres pair et impair. Eu et al. ont montré que le polynôme de descentes de ces permutations admet une décomposition gamma avec des coefficients positifs. Dans cet exposé nous considérons une généralisation du polynôme de descentes avec huit variables. En particulier nous montrons que la fonction génératrice de ces polynômes a un développement explicit en J-fraction. En spécialisant les paramètres, nous établissons des liens avec les polynômes généralisés de Dumont-Foata, ce qui nous permet de démontrer une conjecture de Lazar-Wachs sur les nombres de Genocchi médians, ainsi qu’un (p,q)-analogue de la formula de gamma-positivité avec une propriété de factorisation. La dernière est similaire à une ex-conjecture de Branden sur un (p,q)-analogue de polynômes Eulériens. Référence: Cycles of even-odd drop permutations and continued fractions of Genocchi numbers, Q Pan, J Zeng arXiv preprint arXiv:2108.03200
- Marie Albenque (LIX, École Polytechnique),
Géométrie des clusters de spins dans les triangulations munies d’un modèle d’Ising.
Dans cet exposé, je présenterai des résultats, obtenus en collaboration avec Laurent Ménard, sur la géométrie des clusters de spins dans des triangulations munies d’un modèle d’Ising, et qui s’appuie sur des travaux obtenus précédemment en collaboration avec Laurent Ménard et Gilles Schaeffer. Dans ce modèle, on considère des triangulations dont les sommets sont décorés par des spins + ou -. Cela nous permet de définir une loi de probabilités qui consiste à échantillonner une triangulation décorée avec une probabilité qui dépend de son nombre d’arêtes monochromatiques, via un paramètre nu. Le fait qu’il existe une valeur critique du paramètre pour ce modèle, a été initialement prouvé dans la littérature physique par Kazakov, et a ensuite été retrouvé par des méthodes combinatoires par Bousquet-Mélou et Schaeffer et par Bouttier, Di Francesco and Guitter. Je montrerai comment on peut étudier géométriquement la transition de de phase de ce modèle via l’étude du volume et du périmètre de ses clusters monochromatiques. En particulier, je montrerai que quand nu est critique ou sous critique, le cluster de la racine est fini presque sûrement et infini avec une probabilité positive quand nu est surcritique.
31 mars 2022
- Philippe Biane (Institut Gaspard Monge),
Processus d’exclusion simple quantique, associaèdre et cumulants libres.
Transparents.
Le processus d'exclusion simple quantique est un modèle de particules fermioniques (particules quantiques satisfaisant le principe d'exclusion) qui se déplacent aléatoirement sur un intervalle. C'est une version quantique du processus d'exclusion simple bien connu et très étudié. D. Bernard et T. Jin ont montré que les fluctuations de la mesure stationnaire de ce processus peuvent être décrites par des polynômes remarquables. Dans cet exposé je présenterai ce modèle et je donnerai une formule combinatoire explicite pour ces polynômes au moyen des arbres de Schröder (ou, de façon équivalente, de l'associaèdre). Je montrerai également que ces polynômes peuvent s'interpréter comme des cumulants libres (ces cumulants viennent de la théorie des probabilités libres, j'expliquerai ce que c'est).
- Marie Théret (Modal’X),
Comportement au 1er ordre de la constante de temps dans un modèle de percolation de premier passage de Bernoulli.
Dans le modèle de percolation de premier passage sur $\mathbb{Z}^d$, on associe aux arêtes du graphe une famille de variables i.i.d. positives, représentant le temps aléatoire nécessaire pour traverser chaque arête. Il s’agit d’un modèle jouet pour étudier des phénomènes de propagation sur un réseau. La vitesse asymptotique moyenne de propagation dans une direction $v$ est donnée par l’inverse d'une constante $\mu(v)$ (qui dépend de la direction $v$, de la dimension $d$ et de la loi des temps de traversée d’arête) qu’on appelle constante de temps. Les théorèmes ergodiques sous-additifs nous assurent l’existence d’une telle vitesse asymptotique moyenne, mais ne nous permettent pas de calculer sa valeur. Pour des lois de temps de traversées d’arêtes générales, on ne sait en fait que très peu de choses sur la valeur de $\mu(v)$.
Dans cet exposé, nous nous intéressons à une famille de lois très simples pour les temps de traversée d’arête : une loi de Bernoulli de paramètre $1-\epsilon$. Pour $\epsilon=0$, $\mu_\epsilon (v) = \|v\|_1$. Nous étudions le comportement au premier ordre de $\epsilon \mapsto \mu_\epsilon (v)$ quand $\epsilon$ tend vers $0$.
Il s’agit d’un travail en collaboration avec Anne-Laure Basdevant et Jean-Baptiste Gouéré.
- Sylvie Corteel (IRIF),
Combinatoire des modeles de vertex colorés.
Des modèles de vertex intégrables ont récemment été utilisés pour étudier diverses familles de polynômes symétriques et non symétriques. Dans cet exposé, nous définirons des modèles colorés, à partir desquels nous construirons une famille de fonctions de partition égales aux polynômes LLT et une famille de fonctions de partition égales aux fonctions super-ruban de Lam. En utilisant le formalisme du modèle de vertex, nous pouvons prouver de nombreuses propriétés de ces polynômes, y compris la (super)symétrie et des identités de Cauchy. Enfin, nous discuterons des applications de nos modèles de vertex aux k-pavages du diamant aztèque. Ceci est basé sur des travaux avec Andrew Gitlin, David Keating et Jeremy Meza.
2 juin 2022
- Cyril Nicaud (IGM)
Analyse de quelques choix algorithmiques effectués dans les implantations de Python, Java et Lua
- Jean-François Marckert (LaBRI)
Les feuilletages aléatoires : à la recherche d’un analogue à la carte Brownienne en dimension supérieure.
Transparents.
Il s'agit d'introduire un candidat pour jouer le rôle de la carte Brownienne en dimension supérieure. La construction proposée permet de construire une suite d'objets combinatoires, tel que le kème objet s'obtienne à l'aide du (k-1)ème, par identification d'un grand nombre de sommets. Ces repliages successifs, forment une sorte de feuilletage (au sens pâtissier): ils diminuent les distances, ajoutent de la complexité, et font sortir du monde de la 2D. L'exposé consistera à exposer les idées principales de ce travail, et à présenter des théorèmes limites. (Travail commun avec Luca Lionni)
- Valérie Berthé (IRIF)
Exposants de Lyapunov, produits de matrices et fractions continues
Transparents.
Les fractions continues classiques fournissent les meilleures approximations rationnelles de réels. On attend de fractions continues multidimensionnelles qu'elles produisent simultanément des approximations rationnelles avec le même dénominateur pour des d-uplets donnés de nombres réels, et ce d'une manière efficace. Le principal avantage de la plupart des fractions continues unimodulaires classiques est qu'elles peuvent être exprimées comme des systèmes dynamiques dont l'étude ergodique a déjà été bien comprise. Nous discuterons ici de leur principal inconvénient qui réside dans leurs propriétés d'approximation et de convergence en haute dimension. En effet, leur convergence est régie par les exposants de Lyapounov qui décrivent le comportement asymptotique des valeurs singulières de grands produits de matrices aléatoires, sous l'hypothèse ergodique. Nous discuterons ici d'un travail mené en collaboration avec W. Steiner et J. Thuswaldner, où nous avons remarqué expérimentalement que le second exposant de Lyapounov n'est même pas négatif en haute dimension pour les algorithmes les plus classiques tels que les algorithmes de Jacobi-Perron, Brun ou Selmer, ce qui empêche la convergence forte de ces algorithmes.
Liste des séances de l’année
Les séances de l’année 2021-2022 ont eu lieu :
- jeudi 30 septembre 2021 – à l’IHP
- Marc Lelarge
- Irène Marcovici
- Valentin Féray
- jeudi 25 novembre 2021 – à l’IHP
- Maria Chlouveraki
- Reza Naserasr
- Andrea Sportiello
- jeudi 03 février 2022
- Marie Albenque
Nicolas Bonichon(annulé)- Jiang Zeng
- jeudi 31 mars 2022
- Philippe Biane
- Sylvie Corteel
- Marie Théret
- jeudi 02 juin 2022
- Valérie Berthé
- Jean-François Marckert
- Cyril Nicaud