6 octobre 2022
- Jehanne Dousse (Université de Genève),
Calcul de caractères d’algèbres de Lie avec les partitions d’entiers.
Transparents.
Le caractère d'une représentation V d'une algèbre de Lie peut être vu comme une série génératrice des dimensions de certains sous-modules de V. Ces séries sont par définition à coefficients positifs, mais trouver des formules qui exhibent cette positivité est assez difficile et un problème important en théorie des représentations. En utilisant la théorie des cristaux parfaits et une bijection avec un nouveau type de partitions d'entiers, les "multi-grounded partitions", nous donnerons une formule de caractère purement combinatoire. Nous l'utiliserons ensuite pour trouver de nouvelles formules de caractères manifestement positives pour certaines représentations algèbres de Lie classiques en calculant des séries génératrices de partitions.
Ceci est un travail en commun avec Isaac Konan.
- Nicolas Bonichon (CNRS et LaBRI, Université de Bordeaux),
d-Permutations de Baxter et autres d-permutations à motifs exclus.
Transparents.
Une permutation de taille $n$ peut-être identifiée à son diagramme : un nuage de $n$ points dans la grille $[n]^2$ tel que chaque ligne et chaque colonne contienne exactement un point. Dans ce papier nous considérons des permutations multidimensionnelles (ou $d$-permutations), qui peuvent être identifiées à des nuages de $n$ points dans la grille $[n]^d$ tels que chaque hyperplan $x_i=j$ avec $i \in [d]$ et $j \in [n]$ contienne exactement 1 point.
Dans un premier temps nous investiguons de manière exhaustive l’énumération des classes de permutations qui évitent des petits motifs. Nous proposons quelques bijections vers d’autres objets combinatoires pour expliquer certaines séquences connues, mais nous laissons également quelques questions ouvertes.
Dans un deuxième temps nous proposons une généralisation des permutations de Baxter aux $d$-permutations. De plus, nous proposons une caractérisation de ces permutations en termes de motifs liés (vincular patterns).
Travail réalisé en collaboration avec Pierre-Jean Morel.
- Thierry Lévy (LPSM, Sorbonne Université),
Progrès récents en théorie de Yang-Mills en deux dimensions.
D’un point de vue probabiliste, l’objet de la théorie de Yang-Mills est la construction et l’étude d’une mesure finie sur l’espace des connexions sur un fibré principal au-dessus d'une certaine variété qui jour le rôle de l’espace-temps. Cette mesure admet une description heuristique comme mesure de Gibbs associée à la fonctionnelle d’action
de Yang-Mills, et sa manifestation concrète est un processus stochastique indexé par une classe de lacets suffisamment réguliers sur la variété, à valeurs dans un groupe de matrices compact, tel que SU(N) ou SO(N).
Les quantités fondamentales dans cette théorie sont les valeurs moyennes du produit des traces des matrices associées à des ensemble finis de lacets, aussi appelées boucles de Wilson ; ces fonctions jouent le rôle de “fonctions à n points” d’une théorie des champs. Le calcul de ces valeurs moyennes n’est rigoureusement possible que lorsque l’espace-temps est euclidien et de dimension 2, car c’est le seul cas, pour l’instant, où la mesure est mathématiquement définie.
Je présenterai le modèle, sans rien supposer de connu à son sujet, puis des résultats récents sur sa fonction de partition et le calcul des
boucles de Wilson, à N fixé (le N de SU(N)), et lorsque N tend vers l’infini. Je soulignerai le rôle joué par la théorie des représentations des groupes unitaires dans ces calculs, et la manière dont la dualité de Schur-Weyl permet de mener certains d’entre eux.
24 novembre 2022
- Lauren Williams (Harvard)
Bruhat interval polytopes and their friends.
Transparents.
Given two permutations u and v, with u<=v in Bruhat order, the Bruhat interval polytope P_{u,v} is the convex hull of all permutation vectors (z(1),...,z(n)) with u<=z<=v.Bruhat interval polytopes include the permutohedron, and are a subset of generalized permutohedra. I'll give an introduction to Bruhat interval polytopes (BIPs) and survey some of their nice properties; for example, each face of a BIP is again a BIP. I'll also explain how these polytopes are connected to tropical geometry and to flag matroids. If time permits, I'll mention some open problems, and indicate how these objects can be generalized to other Lie types and to other partial flag varieties.
Based on joint works with Kodama, Tsukerman, and Boretsky-Eur.
- Emmanuel Guitter (IPhT)
Enumération bijective des cartes planaires serrées.
Transparents.
Une carte planaire serrée est un graphe plongé dans le plan avec des sommets marqués, de sorte que tous ses sommets de degré 1 soient marqués. Pour un jeu donné de faces étiquetées de 1 à n de degrés prescrits (et en interprétant les sommets marqués comme des faces de degré 0), le nombre de cartes planaires serrées est, comme l'a montré Norbury, un quasi-polynôme de degré n-3 dans les carrés des degrés des faces. Je montrerai comment obtenir la formule explicite de ce quasi-polynôme de manière purement bijective par une décomposition des cartes planaires serrées en tranches ("slices"). Je montrerai enfin comment en déduire une extension de la "formule des slicings" de Tutte (1962) pour l'énumération des cartes planaires non nécessairement serrées, dans le cas où ces cartes ont un nombre arbitraire de faces de degrés impairs.
Travail en collaboration avec Jérémie Bouttier et Grégory Miermont.
- Vincent Pilaud (LIX)
Treillis de réorientations acycliques et leurs treillis quotients.
Transparents.
Étant donné un graphe orienté acyclique D, on considère l’ensemble de ses réorientations acycliques, ordonnées par inclusion des ensembles d’arcs retournés. On obtient par exemple un treillis booléen lorsque D est une forêt, et l’ordre faible lorsque D est un tournoi. Nous caractériserons les graphes orientés acycliques D pour lesquels cet ordre est un treillis, et même un treillis semidistributif. Dans ce dernier cas, nous présenterons un modèle combinatoire pour les sup irréductibles de ce treillis, et
montrerons comment lire les représentations canoniques par sup et l’ordre de forçage sur les sup irréductibles pour manipuler les congruences et les quotients de ces treillis. Ceci amène naturellement à des généralisations graphiques des associaèdres, des
permutarbrèdres, et plus généralement des quotientopes, construits à partir de polytopes de tessons graphiques.
Cet exposé est basé sur http://arxiv.org/abs/2111.12387.
2 février 2023
- Vincent Jugé (Institut Gaspard Monge),
Produit de mélange, carrés et évitement de motifs.
Transparents.
Un produit de mélange de deux mots U et V est un mot obtenu en entrelaçant les lettres de U et de V ; ce produit n'est pas nécessairement unique. Par exemple, si U = aab et V = cd, les produits de mélange de U et V sont les dix mots aabcd, aacbd, acabd, caabd, aacdb, acadb, caadb, acdab, cadab et cdaab. Un mot W est un carré pour le produit de mélange si W est le produit de mélange d'un mot U avec lui-même. Par exemple, aababa est le produit de mélange du mot aba avec lui-même, donc c'est un carré pour le produit de mélange. Nous nous intéresserons à deux questions, à chacune desquelles nous fournirons des réponses partielles :
1. À quelles conditions sur l'alphabet A existe-t-il un mot infini sur A dont aucun facteur non nul n'est un carré pour le produit de mélange ?
2. Est-il difficile de décider si un mot est un carré pour le produit de mélange ? s'il contient un facteur non nul qui est un carré pour le produit de mélange ?
Ceci est un travail en commun avec Laurent Bulteau et Stéphane Vialette.
- Olya Mandelshtam (University of Waterloo, Canada) ,
Symmetric functions and interacting particle processes.
Transparents.
Macdonald polynomials are a family of symmetric functions that are known to have remarkable connections to a well-studied particle model called the asymmetric simple exclusion process (ASEP). The modified Macdonald polynomials are obtained from the classical Macdonald polynomials using an operation called plethysm. It is natural to ask whether the modified Macdonald polynomials are related to some other particle system.
We answer this question in the affirmative with a certain multispecies totally asymmetric zero-range process (TAZRP). This link motivated a new tableaux formula for modified Macdonald polynomials. We present a Markov process on those tableaux that projects to the TAZRP and derive formulas for stationary probabilities and certain correlations, proving a remarkable symmetry property. We also discuss some specializations of the tableaux formulas coming from ASEP and TAZRP to obtain some classical results. This talk is based on joint work with Arvind Ayyer and James Martin.
- Jang Soo Kim (SKKU, Corée du Sud),
Affine Gordon-Bender-Knuth identities for cylindric Schur functions.
Transparents.
The Gordon-Bender-Knuth identities are determinant formulas for the sum of Schur functions of partitions with bounded height, which have interesting combinatorial consequences such as connections between standard Young tableaux of bounded height, lattice walks in a Weyl chamber, and noncrossing matchings. In this talk we give an affine analog of the Gordon-Bender-Knuth identities, which are determinant formulas for the sum of cylindric Schur functions. We also consider combinatorial aspects of these identities. As a consequence we obtain an unexpected connection between cylindric standard Young tableaux and r-noncrossing and s-nonnesting matchings. This is joint work with JiSun Huh, Christian Krattenthaler, and Soichi Okada.
1er juin 2023
- Julien Courtiel (GREYC, Université de Caen-Normandie),
Comprendre les équations de Dyson-Schwinger via les diagrammes de cordes.
Transparents.
La combinatoire analytique démontre toute sa puissance à l'aune de ses applications, de l'analyse d'algorithmes à la physique statistique, de la bio-informatique aux probabilités. Dans cet exposé, nous allons voir comment la théorie de Philippe Flajolet permet de voir sous un jour nouveau certains travaux en théorie des champs quantiques.
Nul besoin d'être un physicien nobélisé pour suivre cet exposé : je commencerai par (essayer de) vulgariser (avec des dessins de chats) le contexte physique sous-jacent et ce que sont les équations de Dyson-Schwinger.
En utilisant des travaux de Yeats et al., nous verrons que les solutions à ces équations peuvent se voir comme des séries génératrices d'objets combinatoires : les diagrammes de cordes (décorés de manière un peu bizarre). Nous appliquerons alors la théorie de la combinatoire analytique pour décrire ces objets et donner une estimation asymptotique des coefficients de ces solutions. Quand il s'agira de donner une interprétation physique de ces résultats, nous constaterons une surprenante dichotomie entre les différentes théories des champs quantiques.
- Anna Ben Hamou (LPSM, Sorbonne Université),
Inférence statistique sur des arbres aléatoires récursifs à communautés.
Dans cet exposé, on introduira un modèle d’arbre aléatoire récursif présentant une structure à deux « communautés », au sens où chaque nouveau noeud s’attache de façon préférentielle à un noeud du même type que lui, cette préférence étant mesurée par un paramètre $q\in [0,1]$. De nombreuses questions d’ordre statistique peuvent être posées sur ce modèle: si l’on observe l’arbre aléatoire obtenu au bout d’un temps donné, en enlevant la donnée des types mais en gardant éventuellement la donnée des temps d’arrivée, peut-on estimer le paramètre $q$? Ou simplement distinguer deux valeurs différentes de ce paramètre? De façon plus ambitieuse, peut-on trouver une partition des noeuds qui soit corrélée de façon significative avec la « vraie » partition? Nous apporterons des débuts de réponses à ces questions, ce qui nous permettra surtout de les reformuler de façon plus précise. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Vasiliki Velona (Université hébraïque de Jerusalem).
- Christophe Hohlweg (LaCIM, Université du Québec à Montréal),
Autour de la combinatoire des arrangements de Shi dans les groupes de Coxeter.
Transparents.
Dans les années 80, J.-Y. Shi a introduit les sign-types afin de décrire les doubles cellules de Kazhdan-Lusztig du groupe symétrique affine. Afin de les énumérer, il a introduit un arrangement d’hyperplans, l’arrangement de Shi, et montré que le nombre de régions dans cet arrangement correspond au nombre de sign-types est (n+1)^{n-1}. Il a par la suite généralisé ses résultats à tous les groupes de Coxeter affines. Depuis, la combinatoire des arrangements de Shi est apparue en lien avec divers sujets combinatoires : la « combinatoire de Catalan », les automates associés aux groupes de Coxeter ou encore le problème des mots dans les groupes d’Artin (de tresses).
Dans cet exposé, nous allons commencer par survoler la méthode employée par Shi afin d’énumérer les sign-types. Nous présenterons ensuite les ingrédients permettant de généraliser cette combinatoire à tous les groupes de Coxeter, en prenant les exemples du groupe symétrique et du groupe symétrique affine. Finalement, nous discuterons de pourquoi l’énumération des régions des arrangements de Shi nous échappe encore en général.
Cet exposé se veut accessible et ne nécessite donc pas de prérequis au sujet des groupes de Coxeter. Il est basé sur des travaux en commun avec Dyer et Dyer, Fishel et Mark.
